二次型的算术理论的自然百科

[拼音]：ercixing de suanshu lilun

[外文]：arithmetic theory of quadratic form

主要研究“以型表型”的问题。设D 是域K或K中含有单位元素1的环，以I记K或D。所谓I上的二次型，是指n个变元的二次齐次式

简称为型。当K 的特征非2时，常记 ii＝ii，而写此时将的系数矩阵(ij)记为 F，将x视为列矩阵，便有 ＝xTFx，其中xT表x的转置阵。F的秩n和行列式d，分别称为型的秩和行列式。F为满秩，则称为非奇异的；F为降秩，则称为奇异的。对给定的I上n元型和m元型g（m≤n），若存在使；或者说，当K的特征非2时存在n×m矩阵B＝（bij），使BTFB=g，其中g是型g的系数矩阵，则称可在D上表出型g，且B称为表g的一个表法。当m=1时，由(yb)=g(y)=y2可得(b)=∈I，此时称可在D上表出I中元素。知求b即所谓以型表“数”。当=0而b0，非奇异时，则称为I上的零型。例如，有理数域上的三元二次型x2+y2-z2是整数环上的零型，且有表法(3，4，5)(商高定理)。当非奇异型可在I上表出I的所有非零元素时，则称为I上的泛型。当m=n时，若型和g可在D上互相表出，则称与g是在D上等价的，记。I上诸型可分成若干在D上的等价类。若与g同类，则n=ng，∈D，简记为；且可在D上表出之型相同。但是，表数相同的型不一定是等价的。

最早对二次型进行系统研究的是C.F.高斯。二次型的算术理论在不定方程中有大量的应用，也应用于组合设计和结晶学。

型的性质与选取型的系数所在的基域K和环D有关。在有理数域Q和p进数域Qp，以及它们包含的整环上所得的结果，大都可以推广到一般的整体域和局部域上。

域上的二次型

设K是任意一个特征非2的域，则有以下重要结果：

（1） K上秩为n的型均在K上等价于一个对角型式中i是K中无平方因子的非零元素。

（2）E.维特于1936年证明了消去定理：若非奇异l元型，则的充分必要条件为。

（3）C.L.西格尔于 1941年证明了K上的零型必为K上的泛型。反之不常真。由此可知，非奇异n元型可在K上表出K中的元素的充分必要条件为n+1元型是K上的零型。于是把表数问题化为表零问题。

（4）K上非奇异n元型可在K上表出非奇异m元型g的充分必要条件为存在n-m元型h，使得当K=C为复数域时，秩为n的型均在C上等价于单位型，故的充分必要条件为n=ng。为零型的充分必要条件为n≥2。当K=R为实数域时，秩为n的型均在R上等价于某个形如的对角型。数s=s，称为型的正惯性指标。由消去定理可知，的充分必要条件是n=ng，s=sg。通常把s=0或n的型，称之为定型；s=n的型，称之为正定型；0<s<n的型，称之为非定型。是零型的充分必要条件为 是非定型。当K=Fq是一个有限域时，秩为n的型均在Fq上等价于某个对角型，式中为1或某个非平方数。的充分必要条件为n=ng，;是零型的充分必要条件为n≥3或n=2而－d是平方数。当K=Qp是p进数域时为判别型在Qp上等价性及表数问题，H.哈塞关于对角型引入了一个重要的符号，即哈塞符号Cp()，亦称哈塞-闵科夫斯基符号。后来，G.帕尔将其推广为

式中Di表非奇异型的矩阵中之左上角i阶主子式。此处只要求Di中无相继为0的，且对于为0的Di可随意取作1或-1。式中的符号(，)p=+1或-1，视x2+y2=1在Qp中有解或无解而定。这里、是Qp中的非零数，p为素数或，Q∞即实数域。(，)p由D.希尔伯特于1897年引入，称为希尔伯特符号，亦记作或。关于(，)p有一套实际算法，因此Cp()是可以算出的。利用哈塞符号可以证明，p时，Qp上两个非奇异型的充分必要条件为，Cp()=Cp(g)。Qp上非奇异型为零型的充分必要条件是:n=2时；n=3时Cp()=1；n=4时或而Cp()=1；n≥5。

哈塞于 1923年至1924年建立了关于有理数域Q上型的著名准则。弱哈塞准则，亦称哈塞－闵科夫斯基定理：Q上两个非奇异型的充分必要条件为对所有素数p（包括p=），。强哈塞准则：Q上非奇异型是Q上的零型的充分必要条件为对所有素数p（包括p=），是Qp上的零型。于是Q上的型问题，常可化为Qp上的问题，而Qp上的问题借助于哈塞符号即可解决。例如，应用Qp上的结果可得到A.迈耶的定理：Q上秩大于4的非定型，均为Q上的零型。对于K是特征为2的域时，也有少量的研究工作。

环上的二次型

当域K的特征非2，I=D嶅K是一个环（通常取D使K为其商域）时，设

，

C.F.高斯把ij均在D中的型称为整型；L.A.西伯把ii和2ij均在D中的型称为整型。习惯上，前者称为经典整型；后者称为非经典整型或整值整型。这两种整型仅当2非D中之单位数时才是不同的。此后如无特殊声明，概指经典整型。当11，12，…，nn的最大公因数是D中的单位数时，则称为本原型。当D为有理整数环Z或2进整数环Z2时，则使为整值型的本原型称为非真本原型；否则，称为真本原型。当非奇异n元整型可在D上表出m元非奇异整型g，且表法矩阵的所有m阶子式的最大公因数为单位数时，则称此表法是本原的。一般环上的型是极难处理的。例如，当D是非主理想环时，D上的奇异型甚至可能不在D上等价于一个有较少变元的非奇异型。当D=Zp(p)时，Zp上的型均在Zp上等价于一个形如的型，其中gi是行列式为单位数且无公共变元的整型。当P2时，是惟一确定的；当p＝2时，gi或是对角型或是形如2x1x2与 的型的直和，此时gi虽不惟一，但l、ti、gi的变元数以及gi之为真本原型或非真本原型却是不变的。Zp上矩阵为F之非奇异n元整型可在Zp上表出矩阵为g之非奇异m元整型g的充分必要条件为：存在Z中的n×m矩阵A使得 成立，此处w=1或3视p为奇素数或2而定，u≥0适合于pu｜dg，pu+1dg。当D=Z时，弱哈塞准则不成立。对所有p(包括p=)均在Zp上等价于整型的全体整型，称为的一个族。族中可能包含多个Z上的等价类，此时只能证明：对所有素数p和p＝，若非奇异整型 均可在Zp上表出非奇异整型（或非零整数）g，则在的族中必存在一个可在Z上表出g的整型。因此，当的族只含一个Z上的等价类时，即可获得表型（或数）的解答。M.艾希勒于 1952年引入一种介于Z上的等价类和族之间的分类，即所谓旋子族，并证明了n≥3的非奇异非定整型的旋子族与的在Z上的等价类重合。非定整型在Z上的等价性问题，可由判定两型是否同属一个旋子族的方法解决。

关于表数问题，G.L.沃森在1955年用初等方法得到了一个很好的结果：n≥4的非奇异的非定整型可在Z上表出一个非零整数的充分必要条件是：对所有p（包括p=），均可在Zp上表出。对于正定整型在一般情形下只能证明:若n≥4的正定型对每个p（包括p=）均可本原地在Zp上表出正整数，则存在整数N=N()，当≥N 时，可被本原地在Z上表出;当<N 时，可被的旋子族中的某个整型本原地在Z上表出。

二次型的简化法

这是R上的型关于在Z上等价性的理论，由C.埃尔米特首先提出。其基本问题是要从R上诸型的每个Z上的等价类中选出的一个系数尽可能简单(即满足某些所谓简化条件)的型来，这样的型称为已化型。简化方法很多，最常用的是埃尔米特和H.闵科夫斯基的简化法，它们均与正定二次型 的极小值 min 有关，min是型(x)对于所有非零整向量x的最小值。可以证明，存在一个仅与变元数n有关的常数сn，使得对所有n元正定型均有。例如，埃尔米特取。当n≤8时，сn的最佳值rn已于1936年前定出：，但是n>8时rn的值迄今未解决。关于正定型，埃尔米特简化法和闵科夫斯基简化法分别把适合简化条件:+是n-1元已化型，和简化条件：对每个i(1≤i≤n)和所有使 bi，bi+1，…，bn的最大公因数是1的整向量均有ii≤(b)的型，称之为H已化型和M已化型。易知，对M已化型也有11=min，且可证明简化条件中的b只需有限个。 埃尔米特还给出了关于非定型的一种简化法：对给定的非奇异n元非定型g，有多种方法将其表为n个线性无关的实线性型Li(x)的平方的代数和 ，εi=±1。对这样的每种表法，正定型称为 g的一个埃尔米特强函数。若中有一个是M已化型，则称非定型 g为H已化型。对二元非定型，有一种基于连分数的简化法，但是不能推广到多元的情形。可以证明，R上每个正定型均在Z上等价于至少一个而至多有限个H（或M）已化型;R上每个非定型均在Z上等价于至少一个H已化型；Q上每个非定型均在Z上等价于至多有限个H已化型。对于整型，可以证明，有给定行列式的n元非奇异整型，分别属于有限个Z上的等价类。因此，族和旋子族中均只含有限个Z上的等价类。

参考书目J.W.S. Cassels，rational Quadratic Forms，Academic Press，London，1978.L.E.Dickson，History of the Theory of Numbers，Vol.3， Carnegie Institution of Washington， New York，1952.B.W.Jones，The Arithmetic Theory of Quadratic Forms，carus Math.Monographs，No.10，Buffalo，1950.G.L.Watson，Integral Quadratic Forms， Cambridge Univ.Press，London，1960.