P进数域的自然百科

[拼音]：P jinshuyu

[外文]：P -adic number field

又称局部数域，它是数域关于p 进绝对值的完备化。p进数域的研究和代数数论的局部化方法，均始于K.亨泽尔1902年的工作。

设p 是一个固定的素数，于是每个非零的有理整数α均可惟一地表成p 进位形式，即。如果定义，而对每个非零有理数α/b(α、b∈Z，b≠0)，定义。函数称为Q 的p 进绝对值，它具有如下的性质：|α|p=0，当且仅当α=0；，由此可知，是Q 的非阿基米德绝对值，从而Q 关于由给出的拓扑，是一个豪斯多夫拓扑空间，但不是完备的。它的完备化就是p进数域，并记为Qp。 Qp中每个非零元素均可惟一表成 ，称之为p 进数，而当v≥0时，称之为p 进整数。全体p 进整数形成环，称为p进整数环，记作Zp，即。环Zp有比较简单的代数结构，例如，Zp 有惟一的素理想pZp＝，它也是Zp的惟一极大理想，而且(pZp)n=pnZp (n=0，1，2，…)构成环Zp的全部非零理想，从而Zp是主理想环，并且商环 。特别地，Zp/pZp是p元域。Qp关于也有比较简单的拓扑结构：Qp是完备的，每个理想均是Qp中又开又闭的加法子群，并且它们形成0的基本邻域组，从而Qp是全不连通的拓扑空间。因此，在研究Qp上的数论问题时较之于Q上有许多更好的工具。

设K是任意代数数域，P为它的整数环OK中任一素理想。对每个非零元素，均有惟一的v∈Z，使得。定义，式中N(P)=｜OK/P｜(有限域OK/P的阶数)，而。于是函数｜｜p也具有上述三性质。由此可知，｜｜p是K 的一个非阿基米德绝对值，从而K 关于｜｜p也是豪斯多夫拓扑空间，但不是完备的。它的完备化称为P进数域（或局部数域），记作Kp。Kp中存在着N(P)-1个不同的N(P)-1次单位根。令S 是这些单位根和0 组成的集合，若取任意一个元素 π∈Kp，使得（可取P-P2中任一元素为π），则Kp中每个元素均可惟一表示成。当v≥0时，α称为Kp中的整数，Kp中全体整数形成环Op，称为Kp的整数环，于是。Op有惟一的素理想

，它也是Op的惟一极大理想，并且πnOp(n=0，1，2，…)构成Op的全部非零理想，从而Op也是主理想环。Op/πOp是N(P)元有限域，称为Kp的剩余类域，而S是此N(P)元域在Op中的一个完全代表系，称为维特乘性代表系，π称为域Kp的一个素元。每个域Kp也像Qp。那样有比较简单的代数结构和拓扑结构。

局部数域Kp的有限次扩张仍是局部数域，于是有局部数域扩张的理论。局部数域有较简单的代数结构和拓扑结构，而使得局部数域扩张理论较之于代数数域扩张理论要简单。设l/K是局部数域的扩张，OK和OB分别是它们的整数环，P和B分别是OK和OB的惟一的极大理想，于是P在OB中生成的理想只能有形式Be，e称为扩张l/K的分歧指数。另一方面，剩余类域，和均是有限域，而且前者是后者的子域，其扩张次数称为扩张l/K的剩余次数， 并有e=[l:K]。每个局部数域扩张l/K 均有中间域M，使得M/K是次不分歧扩张，而l/M是e 次完全分歧扩张。此外，局部数域也有判别式，差积等概念和希尔伯特分歧理论，与代数数域扩张的情形很类似，但是要简单得多。

假设l/K是代数数域扩张，那么K中每个素理想P在l中有惟一的素因子分解式 PO，sub>L＝，其中B1，B2，…Bg是l中不同的素理想。令ei和i分别为Bi对于扩张l/K 的分歧指数和剩余次数，则 [l:K]。另一方面，局部数域l是Kp的扩域，并且的分歧指数和剩余次数恰好是ei和i，因此，P在l中的分解情况可由诸局部数域扩张中的信息得到。此外，还有[l:K]＝，意即整体扩张次数是局部扩张诸次数之和。类似地还有l/K 的判别式是全体局部扩张判别式的乘积，等等。总之，局部数域扩张理论对于代数数域扩张理论这个代数数论的最基本课题的价值在于数域扩张l/K 的许多性质以某种方式是所有局部数域扩张lВ/Kp中类似性质的总和，这也是研究p进数域的主要意义。

1924年h.哈塞将这种思想成功地运用于二次型的研究之中。例如，设K 为代数数域，是域K上的二次型（即）。H.哈塞证明了，对于每个元素，方程在K 中有解的充分必要条件是此方程在每个局部数域Kp（P过K的全部素理想，包括所谓“无限”素理想）中均有解。由于方程在Kp中的可解性有良好的判别法，将所有Kp的这些判别法汇集在一起，就得到代数数域中多元二次方程可解性的完整而切实可行的判别法。由于H.哈塞在二次型和其他问题上做了许多这类工作，后人就把体现这种思想的数学命题称为哈塞的局部－整体原则。

采用局部化方法（赋值论和Adèle、Idèle语言）能够统一处理代数数域和以有限域为常数域的代数函数域。a.韦伊于1967年写的《基础数论》一书是这种方法的集中反映，对现代数论的发展有重要影响。